Introducción al cálculo en una variable

Presentación 11

1 Límites y continuidad de una función 13

1.1 Límites de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Ejercicios A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3 Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4 Algunos resultados sobre Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5 Cálculo de Límites de la forma 0=0 . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5.1 Límites que se resuelven por factorización . . . . . . . . 43

1.5.2 Límites que se resuelven por racionalización . . . . . . . 44

1.5.3 Límites que se resuelven por cambio de variable . . . . . 46

1.5.4 Límites con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.5.5 Límites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.6 Límites infinitos y  límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6.1 Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6.2 Cálculo de límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.6.3 Límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.6.4 Límites infinitos al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.6.5 Cálculo de límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.6.6 Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.7 Ejercicios B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7

8 Contenido

1.8 Ejercicios C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.9 Continuidad de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . 98

1.9.1 Resultados sobre continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.10 Ejercicios D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2 Derivadas 111

2.1 Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.1.1 Problema de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.1.2 Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.1.3 Consideraciones sobre la derivabilidad en un punto . . . 124

2.2 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.2.1 Derivadas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . 135

2.2.2 Derivadas de funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . 137

2.2.3 Derivadas de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . 138

2.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.4 Derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.4.1 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas . . . 148

2.5 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.6 Derivaci on logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.7 Derivaci on implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.8 Ejercicios E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3 Aplicaciones de la derivada 171

3.1 La regla de L'^oopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.1.1 Aplicación directa de la Regla de L'H^opital . . . . . . . 176

3.1.2 Límites con la forma indeterminada 0   1 . . . . . . . 178

3.1.3 Límites con la forma indeterminada 1